בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – מכפלת שתי סדרות הנדסיות וסכום אין־סופיסדרות 571 · שיעור 60
קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
שיעור 60: בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – מכפלת שתי סדרות הנדסיות וסכום אין־סופי
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – הסדרה cn הנדסית
3סעיף ב – הערך של q
4סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn
5סעיף ד – הערך של a1
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא q.
bn היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא 2q.
cn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים cn = an · bn לכל n טבעי.
א. הוכיחו כי הסדרה cn היא הנדסית, והביעו באמצעות q את מנתה.
נתון: a1 = b1 , c2 = 18 · (a1)2.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את הערך של q.
ג. (1) האם הערך של a1 הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.
(2) האם הסדרה cn עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.
נסמן ב־S1 את סכום הסדרה an, ב־S2 את סכום הסדרה bn וב־S3 את סכום הסדרה cn. נתון: S1 + S2 + S3 = 434.
ד. מצאו את הערך של a1.
סעיף א – הסדרה cn הנדסית
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה (אינה תלויה ב־n). נחשב את המנה בסדרה cn:
cn+1cn = an+1 · bn+1an · bn = an+1an · bn+1bn
📐 נוסחה: הגדרת סדרה הנדסית
המנה בין איברים סמוכים בסדרה an היא q, ובסדרה bn היא 2q:
cn+1cn = q · 2q = 2q2
המנה 2q2 קבועה (אינה תלויה ב־n), ולכן cn היא סדרה הנדסית שמנתה 2q2.
✅ פתרון סופי: cn סדרה הנדסית, מנתה 2q2
📐 נוסחה: הגדרת סדרה הנדסית
an+1an = q (קבוע)
סעיף ב – הערך של q
נבטא את c2 בעזרת האיבר הראשון והמנה:
a2 = a1 · q , b2 = b1 · 2q
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
c2 = a2 · b2 = a1q · b1 · 2q
נתון b1 = a1:
c2 = 2q2 · (a1)2
נשווה לנתון c2 = 18 · (a1)2 (ונחלק ב־(a1)2, שאינו אפס – בסדרה הנדסית אין איבר אפס):
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף ב – הערך של q · המשך
נשווה לנתון c2 = 18 · (a1)2 (ונחלק ב־(a1)2, שאינו אפס – בסדרה הנדסית אין איבר אפס):
2q2 · (a1)2 = 18 · (a1)2
2q2 = 18
q2 = 116
q = 14 או q = −14
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית האיברים מחליפים סימן (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן היא אינה עולה. הסדרה an עולה, ולכן המנה חיובית:
סעיף ב – הערך של q · המשך
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית האיברים מחליפים סימן (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן היא אינה עולה. הסדרה an עולה, ולכן המנה חיובית:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14
סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn
(1) המנה היא q = 14, כלומר 0 < q < 1. נבדוק מתי הסדרה עולה:
an+1 − an = an · q − an
= an(q − 1) = an · (−34)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an · (−34) > 0. מכפלה של מספר שלילי ב־an חיובית רק אם an שלילי. לכן כל איברי הסדרה שליליים, ובפרט a1 < 0.
דוגמה: אם a1 = −16 אז הסדרה היא −16 , −4 , −1 , … – עולה.
(2) לפי סעיף א, המנה של cn היא:
סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn · המשך
(2) לפי סעיף א, המנה של cn היא:
2q2 = 2 · (14)2 = 2 · 116 = 18
האיבר הראשון: c1 = a1 · b1 = (a1)2 > 0. כל האיברים חיוביים (מנה חיובית ואיבר ראשון חיובי).
cn+1 − cn = cn · 18 − cn
= cn · (−78) < 0
כי cn > 0. לכן כל איבר קטן מקודמו, והסדרה cn יורדת.
סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn · המשך
כי cn > 0. לכן כל איבר קטן מקודמו, והסדרה cn יורדת.
✅ פתרון סופי: (1) a1 שלילי; (2) הסדרה cn יורדת
סעיף ד – הערך של a1
שלוש הסדרות הנדסיות אין־סופיות עם מנה בין 1− ל־1 (14 , 12 , 18), ולכן לכל אחת יש סכום:
S1 = a11 − 14 = a134 = 4a13
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
בסדרה bn: b1 = a1 והמנה 2q = 12:
S2 = a11 − 12 = a112 = 2a1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
בסדרה cn: c1 = (a1)2 והמנה 18:
S3 = (a1)21 − 18 = (a1)278 = 8(a1)27
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
S = a11 − q , |q| < 1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
S = a11 − q , |q| < 1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
S = a11 − q , |q| < 1
סעיף ד – הערך של a1 · המשך
S3 = (a1)21 − 18 = (a1)278 = 8(a1)27
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
נציב בנתון:
4a13 + 2a1 + 8(a1)27 = 434
נכפול את שני האגפים ב־21 (מכנה משותף):
28a1 + 42a1 + 24(a1)2 = 9114
24(a1)2 + 70a1 − 9114 = 0
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
S = a11 − q , |q| < 1
סעיף ד – הערך של a1 · המשך
24(a1)2 + 70a1 − 9114 = 0
12(a1)2 + 35a1 − 4557 = 0
a1 = −35 ± √352 + 4 · 12 · 45572 · 12
📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועית
= −35 ± √21996124 = −35 ± 46924
a1 = 43424 = 21712 ≈ 18.08 או a1
= −50424 = −21
📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועית
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ד – הערך של a1 · המשך
= −50424 = −21
לפי סעיף ג (1) a1 < 0, ולכן הפתרון החיובי נפסל.
בדיקה: S1 = −28, S2 = −42, S3 = 8 · 4417 = 504, ו־−28 − 42 + 504 = 434 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = −21
📌 סיכום התשובות
סעיף א
המנה 2q2
סעיף ב
q = 14
סעיף ג (1)
שלילי
סעיף ג (2)
יורדת
סעיף ד
a1 = −21
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא